朗兰兹纲领

翔子 · 发表于 2010-3-16 13:48:00

[url=http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%97%E8%98%AD%E8%8C%B2%E7%B6%B1%E9%A0%98]http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%97%E8%98%AD%E8%8C%B2%E7%B6%B1%E9%A0%98

朗兰兹纲领是[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%95%B8%E5%AD%B8]数学中一系列影响深远的[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%A7%8B%E6%83%B3]构想，联系[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%95%B8%E8%AB%96]数论、[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E4%BB%A3%E6%95%B8%E5%B9%BE%E4%BD%95]代数几何与[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E7%B4%84%E5%8C%96%E7%BE%A4]约化群[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E7%90%86%E8%AB%96]表示理论；纲领最初由[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E7%BD%97%E4%BC%AF%E7%89%B9%C2%B7%E6%9C%97%E5%85%B0%E5%85%B9]罗伯特·朗兰兹于[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/1967%E5%B9%B4]1967年在一封给[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E9%9F%A6%E4%BC%8A]韦伊的[url=http://sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Langlands/functoriality.html]信件中提出。

1 起源：数论

2 推广：自守表示理论架构

3 再推广：函子性原则

4 朗兰兹纲领的指导思想

5 内窥现象

6 几何化朗兰兹纲领

6.1 几何化朗兰兹纲领与规范场论

[url=http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%97%E8%98%AD%E8%8C%B2%E7%B6%B1%E9%A0%98#.E5.8F.83.E8.80.83]6.2 参考

7 部份结果

8 奖项

[url=http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%97%E8%98%AD%E8%8C%B2%E7%B6%B1%E9%A0%98#.E5.8F.83.E8.80.83_2]9 参考

起源：数论
我们可以[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E4%BA%92%E5%8F%8D%E5%BE%8B]二次互反律之推广[url=http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E9%98%BF%E5%BB%B7%E4%BA%92%E5%8F%8D%E5%BE%8B&action=edit&redlink=1]阿廷互反律为朗兰兹纲领之起点：给定一个Q上的、[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E4%BC%BD%E7%BE%85%E7%93%A6%E7%BE%A4]伽罗瓦群为[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%8F%AF%E4%BA%A4%E6%8D%A2%E7%BE%A4]可交换群的[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%95%B0%E5%9F%9F]数域，[url=http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E9%98%BF%E5%BB%B7%E4%BA%92%E5%8F%8D%E5%BE%8B&action=edit&redlink=1]阿廷互反律向这个伽罗瓦群的任何一支一维[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E7%BE%A4%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E8%AB%96]表示配上一枚[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/L%E5%87%BD%E6%95%B8]L函数，并断言：此等 L-函数俱等于某些 [url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E7%8B%84%E5%88%A9%E5%85%8B%E9%9B%B7L%E5%87%BD%E6%95%B8]狄利克雷L函数（[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E9%BB%8E%E6%9B%BC%CE%B6%E5%87%BD%E6%95%B8]黎曼ζ函数的类推，由[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E7%8B%84%E5%88%A9%E5%85%8B%E9%9B%B7%E7%89%B9%E5%BE%B5]狄利克雷特征表达）。此二种L-函数之间的准确的联系构成了阿廷互反律。
若给定不可交换伽罗瓦群及其高维表示，我们仍可定义一些自然的相配的L-函数——[url=http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E9%98%BF%E5%BB%B7L%E5%87%BD%E6%95%B8&action=edit&redlink=1]阿廷L函数。

推广：自守表示理论架构
朗兰兹洞察到：当找到适当的狄利克雷L-函数的推广，便有可能推广阿廷互反律。
[url=http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%B5%AB%E5%85%8B&action=edit&redlink=1]赫克（Erich Hecke）曾联系全纯[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E8%87%AA%E5%AE%88%E5%BD%A2%E5%BC%8F]自守形式（定义于上半复平面上、满足某些[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%87%BD%E6%95%B0%E6%96%B9%E7%A8%8B]函数方程的[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%85%A8%E7%BA%AF%E5%87%BD%E6%95%B0]全纯函数）与[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E7%8B%84%E5%88%A9%E5%85%8B%E9%9B%B7L%E5%87%BD%E6%95%B8]狄利克雷L函数。朗兰兹推广赫克理论，以应用于[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E8%87%AA%E5%AE%88%E5%B0%96%E9%BB%9E%E8%A1%A8%E7%A4%BA]自守尖点表示（[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E8%87%AA%E5%AE%88%E5%B0%96%E9%BB%9E%E8%A1%A8%E7%A4%BA]自守尖点表示是Q-[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E9%98%BF%E4%BB%A3%E7%88%BE%E7%92%B0]阿代尔环上[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%B7%9A%E6%80%A7%E7%BE%A4]一般线性群 GLn 的某类无限维不可约表示）。
朗兰兹为这些自守表示配上L-函数，然后猜想：

互反猜想. 每一来自给定[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%95%B0%E5%9F%9F]数域的伽罗瓦群的有限维表示的阿廷 L-函数，都相等于某一来自自守尖点表示的L-函数。若要建立一一对应，须考虑较[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E4%BC%BD%E7%BE%85%E7%93%A6%E7%BE%A4]伽罗瓦群的适当扩张，称作[url=http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E9%9F%8B%E4%BE%9D-%E5%BE%B7%E5%88%A9%E6%B6%85%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1]韦依-德利涅群。在可交换的例子，这相当于将狄利克雷特征推广为[url=http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%B5%AB%E5%85%8B%E7%89%B9%E5%BE%B5&action=edit&redlink=1]赫克特征（[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%BE%B7%E6%96%87]德文旧称 Größencharakter）。互反猜想蕴含[url=http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E9%98%BF%E5%BB%B7%E7%8C%9C%E6%83%B3&action=edit&redlink=1]阿廷猜想。

再推广：函子性原则
朗兰兹再进一步推广：

以任何连通[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E7%B4%84%E5%8C%96%E7%BE%A4]约化群 G 代替上文中的一般线性群 GLn；
构筑复李群 LG（所谓[url=http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E6%9C%97%E8%98%AD%E8%8C%B2%E5%B0%8D%E5%81%B6%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1]朗兰兹对偶群，或L群）；
以自守表示的L包代替自守表示；每个L包是自守表示组成的有限集，属同一L包的表示称作L不可辨的。
向每一个 G的自守尖点表示和每一个 LG的有限维表示，配与一个[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/L-%E5%87%BD%E6%95%B8]L-函数；同一L包中的表示有相同的 L-函数及 ε-因子。朗兰兹并[url=http://www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Langlands/functoriality.html#problems]猜想：此两个 L-函数满足某[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%87%BD%E6%95%B0%E6%96%B9%E7%A8%8B]函数方程。

朗兰兹更构想了一道非常广泛的函子性原则（[url=http://www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Langlands/functoriality.html#edinburgh]Functoriality Principle）：
函子性猜想. 若指定二约化群，并指定其相应的L群之间的可容许同态，则二约化群的自守表示之间应该有某种与其 L-函数相容之关系。函子性猜想蕴含广义[url=http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E6%8B%89%E9%A6%AC%E5%8A%AA%E9%87%91%E7%8C%9C%E6%83%B3&action=edit&redlink=1]拉马努金猜想。
函子性构想本质上是一种[url=http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%AA%98%E5%B0%8E%E8%A1%A8%E7%A4%BA&action=edit&redlink=1]诱导表示构造（在传统的[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E8%87%AA%E5%AE%88%E5%BD%A2%E5%BC%8F]自守形式理论中称为提升，在某些特殊情况下已知），因而是协变的（相反地，[url=http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%8F%97%E9%99%90%E8%A1%A8%E7%A4%BA&action=edit&redlink=1]受限表示构造是逆变的）。各种直接构造的尝试只产生了一些条件性的结果。
上述各猜想亦有其他域上的版本：[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%95%B0%E5%9F%9F]数域（最早期的版本）、[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%B1%80%E9%83%A8%E5%9F%9F]局部域及[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%87%BD%E6%95%B8%E5%9F%9F]函数域（即Fp(t)的[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%9C%89%E9%99%90%E6%93%B4%E5%BC%B5]有限扩张；其中p 是一 [url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E7%B4%A0%E6%95%B8]素数， Fp(t) 是 p 元有限域上的[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%9C%89%E7%90%86%E5%87%BD%E6%95%B8]有理函数域）。局部域的与数域的朗兰兹纲领满足一些相容性，二者之方法亦互为用。

朗兰兹纲领的指导思想
朗兰兹纲领建基于当时已存在的念头：[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E7%9B%96%E5%B0%94%E8%8A%B3%E7%89%B9]盖尔芳特之前几年写的《尖点形式之启示》（The Philosophy of Cusp Forms）；[url=http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%93%88%E7%91%9E%E5%B8%8C%C2%B7%E6%98%8C%E5%BE%97%E6%8B%89&action=edit&redlink=1]哈瑞希·昌得拉（[url=http://en.wikipedia.org/wiki/Harish-Chandra]en:Harish-Chandra）研究 [url=http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%8D%8A%E5%96%AE%E6%9D%8E%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1]半单李群的结果和方法；而技术上则有[url=http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%A1%9E%E7%88%BE%E4%BC%AF%E6%A0%BC&action=edit&redlink=1]塞尔伯格等的[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%A1%9E%E7%88%BE%E4%BC%AF%E6%A0%BC%E8%B7%A1%E5%85%AC%E5%BC%8F]塞尔伯格迹公式。
朗兰兹的创见，除技术之深以外，在于他提出上述理论与[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%95%B8%E8%AB%96]数论的直接联系，以及其构想中丰富的总体结构（即所谓函子性者也）。
例如在哈瑞希·昌得拉的工作中，我们可见以下原则：
“任何对某一半单（或约化）李群可能做的，应对所有都做。” 故一旦认清一些低维李群 —如 GL2 —在模形式理论之角色，并反观 GL1 在[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E9%A1%9E%E5%9F%9F%E8%AB%96]类域论之角色，我们至少可推测一般 GLn 的情况。
尖点形式之念头来自[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%A8%A1%E6%9B%B2%E7%B7%9A]模曲线上的尖点，在[url=http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%AD%9C%E7%90%86%E8%AB%96&action=edit&redlink=1]谱理论上对应于[url=http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E9%9B%A2%E6%95%A3%E8%AD%9C&action=edit&redlink=1]离散谱；对比之下[url=http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E9%80%A3%E7%BA%8C%E8%AD%9C&action=edit&redlink=1]连续谱则来自[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E8%89%BE%E6%A3%AE%E6%96%AF%E5%9D%A6%E7%B4%9A%E6%95%B8]艾森斯坦级数。但当给定的李群越大，则[url=http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E6%8B%8B%E7%89%A9%E5%AD%90%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1]抛物子群越多，技术上则越复杂。
在此等研究途径中不乏各种技巧——通常基于[url=http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%88%97%E7%B6%AD%E5%88%86%E8%A7%A3&action=edit&redlink=1]列维分解等事实、具诱导表示的性质 ——但这领域一直都很困难。
在[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%A8%A1%E5%BD%A2%E5%BC%8F]模形式方面，亦有例如[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%B8%8C%E7%88%BE%E4%BC%AF%E7%89%B9%E6%A8%A1%E5%BD%A2%E5%BC%8F]希尔伯特模形式、 [url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E8%A5%BF%E6%A0%BC%E7%88%BE%E6%A8%A1%E5%BD%A2%E5%BC%8F]西格尔模形式和 [url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/Theta_%E5%87%BD%E6%95%B8]theta-级数等等面向。

内窥现象
内窥(Endoscopy)意谓“在一般共轭中窥见稳定共轭”；共轭意谓群的共轭作用；稳定共轭则意谓可取；稳定共轭类可分解为有限个一般共轭类。稳定共轭与一般共轭之别造成上述的L-不可辨性。
亚瑟-塞尔伯格迹公式是处理函子性猜想及[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%BF%97%E6%9D%91%E7%B0%87]志村簇的[url=http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%93%88%E7%91%9F-%E9%9F%8B%E4%BC%8A%CE%B6%E5%87%BD%E6%95%B8&action=edit&redlink=1]哈瑟-韦伊ζ函数之利器。在技术上，我们需要一稳定迹公式，稳定化有赖于将 G 之一般轨道积分表成内窥群上的稳定轨道积分。内窥理论旨在配对群及其内窥群的轨道积分，称作内窥传递；其关键则是所谓的[url=http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%BC%95%E7%90%86&action=edit&redlink=1]基本引理。
内窥传递不仅是工具，也涵摄函子性猜想的一些特例。

几何化朗兰兹纲领
数域上的朗兰兹纲领可以翻译到几何的框架，大略步骤如下：

以紧[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E9%BB%8E%E6%9B%BC%E6%9B%B2%E9%9D%A2]黎曼曲面 C 的[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E4%BA%9A%E7%BA%AF%E5%87%BD%E6%95%B0]亚纯[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%87%BD%E6%95%B8%E5%9F%9F]函数域取代[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%95%B0%E5%9F%9F]数域
以[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E7%BE%A4]基本群取代伽罗瓦群
以[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%B1%80%E9%83%A8%E7%B3%BB%E7%B5%B1]局部系统取代伽罗瓦表示
以秩 n [url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%90%91%E9%87%8F%E4%B8%9B]向量丛的模空间 Bunn / C 取代
以[url=http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%8F%8D%E5%B8%B8%E5%B1%A4&action=edit&redlink=1]反常层取代自守形式
以[url=http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%B5%AB%E5%85%8B%E6%9C%AC%E5%BE%B5%E5%B1%A4&action=edit&redlink=1]赫克本征层取代赫克本征形式

几何化朗兰兹纲领与规范场论2006年，[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%84%9B%E5%BE%B7%E8%8F%AF%C2%B7%E5%A8%81%E6%BB%95]爱德华·威滕和 Anton Kapustin 建议：

以[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/D-%E8%86%9C]D-膜演译赫克本征层；
以[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E7%A3%81%E5%8D%95%E6%9E%81]磁单极演译 [url=http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%B5%AB%E5%85%8B%E7%AE%97%E5%AD%90&action=edit&redlink=1]赫克算子。

参考

[url=http://arxiv.org/abs/math.AG/0303074]Edward Frenkel, Recent Advances in the Langlands Program
[url=http://arxiv.org/abs/hep-th/0512172]Edward Frenkel, Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory
[url=http://arxiv.org/abs/hep-th/0604151/]Anton Kapustin, Edward Witten, Electric-Magnetic Duality And The Geometric Langlands Program
[url=http://www.math.uchicago.edu/~mitya/langlands.html]Geometric Langlands Seminar
[url=http://www2.math.northwestern.edu/langlands/]Geometric Langlands Program

部份结果
部份朗兰兹纲领的项目已经完成。

GLn 关于局部域的部份：由 [url=http://pup.princeton.edu/titles/7235.html]Michael Harris 和 Richard Taylor 合作完成；[url=http://www.springerlink.com/content/h5yfh3x99xr5hgm1/]Henniart亦导出了一较简短的证明。
关于 GLn 关于函数域上的部份：1999年[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%B4%9B%E6%9C%97%C2%B7%E6%8B%89%E7%A6%8F%E6%A0%BC]洛朗·拉福格证明之[url=http://arxiv.org/abs/math.NT/0212417][1]。

奖项
[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%B4%9B%E6%9C%97%C2%B7%E6%8B%89%E7%A6%8F%E6%A0%BC]洛朗·拉福格凭其在函数域上的工作获得2002年[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E8%8F%B2%E7%88%BE%E8%8C%B2%E7%8D%8E]菲尔兹奖。拉福格的工作延续了较早期的[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%BE%B7%E6%9E%97%E8%B2%BB%E7%88%BE%E5%BE%B7]德林费尔德得菲尔兹奖（1990）的研究。数域方面只有一些特例被证明了，有些是朗兰兹自己完成的。
朗兰兹

于[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/1996%E5%B9%B4]1996年获得[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%B2%83%E5%B0%94%E5%A4%AB%E5%A5%96]沃尔夫奖；
于[url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/2006%E5%B9%B4]2006年获得[url=http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=Nemmers_%E7%8D%8E_(%E6%95%B8%E5%AD%B8)&action=edit&redlink=1]Nemmers 奖 (数学)。

参考

[url=http://www.ams.org/online_bks/pspum332]Corvallis Proceedings (1979) A.Borel, W. Casselman（编辑）, AMS, [url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/Special:%E7%BD%91%E7%BB%9C%E4%B9%A6%E6%BA%90/0821833712]ISBN 0-8218-3371-2（网上书，免费）
Stephen Gelbart: An Elementary Introduction to the Langlands Program, Bulletin of the AMS v.10 no. 2 April 1984.
[url=http://www.ams.org/bull/2003-40-01/S0273-0979-02-00963-1/S0273-0979-02-00963-1.pdf]J. Arthur：The Principle of Functoriality; pp.39-53, No. 1, Volume 40, Bulletin of the AMS; October, 2002.
Edward Frenkel: Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory, [url=http://www.arxiv.org/abs/hep-th/0512172]hep-th/0512172
J. Bernstein, S. Gelbart, An Introduction to the Langlands Program, [url=http://zh.wikipedia.org/zh-cn/Special:%E7%BD%91%E7%BB%9C%E4%B9%A6%E6%BA%90/3764332115]ISBN 3764332115
[url=http://www.fields.utoronto.ca/audio/02-03/#CMI_summer_school]Summer School, Toronto,June 2003-- Audio and notes
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Michèle Vergne, [url=http://arxiv.org/abs/math/0607479]All what I wanted to know about Langlands program and was afraid to ask，2006.

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